فعالیت ۱ ریاضی ششم
با روشی که در سال گذشته آموخته‌اید، می‌توانید هر یک از تقسیم‌های زیر را ابتدا به ضرب تبدیل کنید و سپس حاصل آن را به دست آورید. راه‌حل را کامل کنید.
🔴 $\frac{۱}{۴} \div \frac{۱}{۳} = \frac{۱}{۴} \times \frac{۳}{۱} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\text{۵} \div \frac{۱}{۲} = \text{۵} \times \mathbf{\square} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\text{۵} \div \frac{۳}{۴} = \text{۵} \times \mathbf{\square} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\frac{۱}{۱۰} \div \mathbf{۱۰} = \frac{۱}{۱۰} \times \frac{۱}{۱۰} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\frac{۴}{۵} \div \frac{۲}{۳}$
$ ext{در مورد تقسیم روبه‌رو چه حدس می‌زنید؟}$
$ ext{به جای علامت سؤال چه عددی را باید نوشت؟} \quad \frac{۴}{۵} \div \frac{۲}{۳} = \frac{۴}{۵} \times ?$
$ ext{با دنبال کردن مراحل زیر پاسخ را پیدا می‌کنیم:}$
$$\frac{۴}{۵} \div \frac{۲}{۳} = \frac{۴ \times ۳}{۵ \times ۳} \div \frac{۲ \times ۵}{۳ \times ۵} = \frac{۱۲}{۱۵} \div \frac{۱۰}{۱۵} = \frac{۱۲}{۱۰} = \frac{۶}{۵}$$
$$\frac{۴}{۵} \div \frac{۲}{۳} = \frac{۴}{۵} \times \frac{۳}{۲} = \mathbf{\frac{۱۲}{۱۰} = \frac{۶}{۵}}$$
$ ext{تقسیم زیر را با همین روش به ضرب تبدیل کنید:}$
$$\frac{۳}{۷} \div \frac{۱}{۲} = \frac{۳ \times ۲}{۷ \times ۲} \div \frac{۱ \times ۷}{۲ \times ۷} = \frac{\mathbf{\square}}{۱۴} \div \frac{\mathbf{\square}}{۱۴} = \frac{\mathbf{\square}}{\mathbf{\square}} = \frac{۳}{۷} \times \frac{\mathbf{\square}}{\mathbf{\square}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۳۴ ریاضی ششم
بچه‌های عزیز! این فعالیت مهم‌ترین قانون تقسیم کسرها، یعنی **تبدیل تقسیم به ضرب در معکوس کسر دوم** را معرفی می‌کند.
### ۱. تکمیل تقسیم‌های ساده (تبدیل به ضرب)
قانون: $\mathbf{\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}}$
* **🔴 $\frac{۱}{۴} \div \frac{۱}{۳}$:**
$$\frac{۱}{۴} \div \frac{۱}{۳} = \frac{۱}{۴} \times \frac{۳}{۱} = \mathbf{\frac{۳}{۴}}$$
* **🔴 $\text{۵} \div \frac{۱}{۲}$:** ($ rac{۵}{۱} \div \frac{۱}{۲}$)
$$\text{۵} \div \frac{۱}{۲} = \text{۵} \times \mathbf{\frac{۲}{۱}} = \frac{۱۰}{۱} = \mathbf{۱۰}$$
* **🔴 $\text{۵} \div \frac{۳}{۴}$:** ($ rac{۵}{۱} \div \frac{۳}{۴}$)
$$\text{۵} \div \frac{۳}{۴} = \text{۵} \times \mathbf{\frac{۴}{۳}} = \frac{۲۰}{۳} = \mathbf{۶\frac{۲}{۳}}$$
* **🔴 $\frac{۱}{۱۰} \div \mathbf{۱۰}$:** ($ rac{۱}{۱۰} \div \frac{۱۰}{۱}$)
$$\frac{۱}{۱۰} \div \text{۱۰} = \frac{۱}{۱۰} \times \frac{۱}{۱۰} = \mathbf{\frac{۱}{۱۰۰}}$$
---
### ۲. کشف قانون معکوس (مثال $\mathbf{\frac{۴}{۵} \div \frac{۲}{۳}}$)
در روش **هم مخرج کردن** (که در صورت سؤال آمده)، دیدیم که:
$$\frac{۴}{۵} \div \frac{۲}{۳} = \frac{۱۲}{۱۰} = \frac{۶}{۵}$$
**🔴 حدس در مورد تقسیم روبه‌رو:** حدس می‌زنیم که $\frac{۴}{۵} \div \frac{۲}{۳}$ برابر با $\frac{۴}{۵}$ ضرب در **معکوس کسر دوم** ($ rac{۳}{۲}$) باشد.
**🔴 به جای علامت سؤال:** $\frac{۴}{۵} \div \frac{۲}{۳} = \frac{۴}{۵} \times \mathbf{\frac{۳}{۲}}$
**نتیجه‌ی مراحل:** همانطور که دیدیم، حاصل $\frac{۴}{۵} \div \frac{۲}{۳}$ با حاصل $\frac{۴}{۵} \times \frac{۳}{۲}$ برابر است. این **قانون اساسی تقسیم کسرها** است.
---
### ۳. تبدیل تقسیم با روش معکوس
**تقسیم:** $\frac{۳}{۷} \div \frac{۱}{۲}$
**تکمیل مراحل هم مخرج کردن:**
$$\frac{۳}{۷} \div \frac{۱}{۲} = \frac{۶}{۱۴} \div \frac{۷}{۱۴} = \frac{۶}{۷}$$
**تکمیل رابطه ضرب:**
$$\frac{۳}{۷} \div \frac{۱}{۲} = \frac{۳}{۷} \times \mathbf{\frac{۲}{۱}} = \frac{۶}{۷}$$
| جای خالی | مقدار |
|:---:|:---:|
| $\frac{\mathbf{\square}}{۱۴}$ | $\mathbf{۶}$ |
| $\frac{\mathbf{\square}}{۱۴}$ | $\mathbf{۷}$ |
| $\frac{\mathbf{\square}}{\mathbf{\square}}$ (کسر نهایی هم مخرج) | $\mathbf{\frac{۶}{۷}}$ |
| $\frac{\mathbf{\square}}{\mathbf{\square}}$ (معکوس) | $\mathbf{\frac{۲}{۱}}$ |
کار در کلاس ۱ ریاضی ششم
حاصل هر یک از تقسیم‌های زیر را مانند نمونه به دست آورید:
**نمونه:** $\frac{۱۸}{۵} \div \frac{۲}{۳} = \frac{۱۸}{۵} \times \frac{۳}{۲} = \frac{۹ \times ۳}{۵ \times ۱} = \frac{۲۷}{۵}$
🔴 $\frac{۳}{۴} \div \frac{۵}{۶} = \mathbf{\frac{۳}{۴} \times \frac{۶}{۵} = \text{...}}$
🔴 $\frac{۳}{۸} \div \frac{۱}{۴} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\frac{۳}{۸} \div ۱\frac{۱}{۴} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\frac{۳}{۸} \div \frac{۴}{۱} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\frac{۳}{۸} \div \frac{۳۵}{۴} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\frac{۳}{۸} \div \frac{۴}{۳} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\frac{۳}{۸} \div \frac{۹}{۴} = \mathbf{\text{...}}$
🔴 $\frac{۳}{۸} \div \frac{۳}{۴}$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۳۴ ریاضی ششم
در اینجا از قانون اصلی تقسیم کسرها استفاده می‌کنیم: $\mathbf{\text{تقسیم بر یک کسر، برابر است با ضرب در معکوس آن کسر}}$. فراموش نکنید که همیشه قبل از ضرب، تا جایی که امکان دارد، ساده‌سازی کنید.
### ۱. تقسیم کسرها (روش معکوس)
* **🔴 $\frac{۳}{۴} \div \frac{۵}{۶}$:**
$$\frac{۳}{۴} \times \frac{۶}{۵} = \frac{۳ \times \mathbf{۳}}{\mathbf{۲} \times ۵} = \frac{۹}{۱۰}$$
* **توضیح:** $ ext{۴}$ و $ ext{۶}$ بر $athbf{۲}$ ساده شدند. ($ ext{۴}\div\text{۲} = \text{۲}$, $ ext{۶}\div\text{۲} = \text{۳}$)
* **🔴 $\frac{۳}{۸} \div \frac{۹}{۴}$:**
$$\frac{۳}{۸} \times \frac{۴}{۹} = \frac{\mathbf{۱} \times \mathbf{۱}}{\mathbf{۲} \times \mathbf{۳}} = \frac{۱}{۶}$$
* **توضیح:** $ ext{۳}$ و $ ext{۹}$ بر $athbf{۳}$، و $ ext{۴}$ و $ ext{۸}$ بر $athbf{۴}$ ساده شدند.
* **🔴 $\frac{۸}{۱۲} \div \frac{۶}{۷}$:**
$$\frac{۸}{۱۲} \times \frac{۷}{۶} = \frac{\mathbf{۲}}{۳} \times \frac{۷}{۶} = \frac{۲ \times ۷}{۳ \times ۶} = \frac{۱۴}{۱۸} = \mathbf{\frac{۷}{۹}}$$
* **توضیح:** $\frac{۸}{۱۲}$ به $\frac{۲}{۳}$ ساده شد. سپس $\text{۲}$ و $ ext{۶}$ بر $athbf{۲}$ ساده شدند.
* **🔴 $\frac{۶}{۳۵} \div \frac{۴}{۷}$:**
$$\frac{۶}{۳۵} \times \frac{۷}{۴} = \frac{\mathbf{۳}}{\mathbf{۵}} \times \frac{\mathbf{۱}}{\mathbf{۲}} = \mathbf{\frac{۳}{۱۰}}$$
* **توضیح:** $ ext{۶}$ و $ ext{۴}$ بر $athbf{۲}$، و $ ext{۷}$ و $ ext{۳۵}$ بر $athbf{۷}$ ساده شدند.
### ۲. تقسیم با اعداد مخلوط و کسرهای بزرگ
* **🔴 $\frac{۳}{۸} \div ۱\frac{۱}{۴}$:** ابتدا $۱\frac{۱}{۴}$ را به کسر تبدیل می‌کنیم: $\frac{۵}{۴}$.
$$\frac{۳}{۸} \div \frac{۵}{۴} = \frac{۳}{۸} \times \frac{۴}{۵} = \frac{۳ \times \mathbf{۱}}{\mathbf{۲} \times ۵} = \mathbf{\frac{۳}{۱۰}}$$
* **توضیح:** $ ext{۴}$ و $ ext{۸}$ بر $athbf{۴}$ ساده شدند.
* **🔴 $\frac{۳}{۸} \div \frac{۳۵}{۴}$:**
$$\frac{۳}{۸} \times \frac{۴}{۳۵} = \frac{۳ \times \mathbf{۱}}{\mathbf{۲} \times ۳۵} = \mathbf{\frac{۳}{۷۰}}$$
* **توضیح:** $ ext{۴}$ و $ ext{۸}$ بر $athbf{۴}$ ساده شدند.
### ۳. تقسیم نهایی
* **🔴 $\frac{۳}{۸} \div \frac{۳}{۴}$:**
$$\frac{۳}{۸} \times \frac{۴}{۳} = \frac{\mathbf{۱}}{\mathbf{۲}} \times \frac{\mathbf{۱}}{\mathbf{۱}} = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$$
* **توضیح:** $ ext{۳}$ و $ ext{۳}$ بر $athbf{۳}$، و $ ext{۴}$ و $ ext{۸}$ بر $athbf{۴}$ ساده شدند.
